【高考数学】何等等 ：?深化研究 聚焦课堂 提质增效

一、2021年全国乙卷总体分析

2021年使用全国乙卷的12个省份为：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西。其中，甘肃、青海、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、内蒙古、陕西等8个省份原来使用的是全国II卷，今年I、II卷合并，使用全国乙卷。

2021年高考数学全国乙卷，体现了高考改革的思想，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，打破常规考查顺序，凸显数学学科“一核四层四翼”，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向。试题紧扣主干知识，突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用的主导思想，关注我国社会主义建设的重要成果，培养爱国主义情怀，体现了“四个自信”，通过设计问题情境，体现数学的应用价值；科学把握必备知识与关键能力的关系，稳中求新，注重题型的开放性与数学思维的开放性,试题稳中有新，难易程度适中，分布科学合理，知识覆盖面广，重点突出，层次分明，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。同时结合教材的改革，为高中教学指明了方向，落实立德树人的教育目标。

（一）2021年全国高考数学乙卷试题特点

1.试题贯彻《中国高考评价体系》

（1）重视基础，稳中求实，体现对高中数学的指导性。知识是素养的载体，对基础知识的考查是高考命题绕不过的话题。纵观全卷，稳定是主流。2021年全国乙卷立足于“四基四能”，注重对高中所学知识内容的全面考查，复数、集合、简易逻辑与平面向量在选择填空中都有考查。在此基础上，试卷还强调对主干内容的考查，如在解答题和部分选择题、填空题中强化了对三角函数（15分）、数列（12分）、概率与统计（22分）、立体几何（22分）、函数与导数（27分）、解析几何（22分）等核心主干知识的考查力度，体现了“主干知识频繁考、重点知识重点考”的原则，但考查角度稳中求变，稳中求新。

（2）主干考点相对稳定，局部有变化。试卷中必修题和选修题的分值比例依旧为14：1，其中必修题140分中代数、几何、三角函数和概率统计与排列组合分值分别为59分、44分、15分和22分，相比2020年，几乎没有变化，主要在三角和数列上轮换考查。对于基础知识的考查主要体现在选择题、填空题的前几道题上，全国乙卷的第1-8题和13、14、15、17、20（1）题都是考查基础知识和基本方法的基础试题。

（3）试题综合性强，能力立意，考查关键数学能力。选择题难度有所提升，填空题较为基础，解答题难度梯度设置合理。选择题前5题的平均难度高于往年，解答题中数列和解析几何较往年难度有所加大。第10题，考查函数极值和图像，不等式性质，分类讨论思想，尽管是一道小题，但综合性很强，考知识，考方法，考思想。

（4）试题呈现新亮点，考点发生新变化。一是函数与导数的题量增加（三小一大4,10,12,20），导数应用的难度较往年难度降低，注重基本概念和基本方法的考查，考查考生的分析与解决问题的能力，具有很好的区分度。二是圆锥曲线中双曲线考查基本概念，椭圆考查离心率，直线与抛物线的综合问题作为压轴题出现，凸显四基四能，具有很好的选拔功能。三是整份试卷中加大了对立体几何的考查力度，增强学生的直观想象素养，难度加大。文、理客观题压轴的16题和主观题的18题均考查的是立体几何。16题考查三视图的部分，到去年为止文科在主干试题中已经连续三年没有单独考查三视图，但今年三视图作为文科的客观题压轴16题，可见在立体几何上三视图在复习阶段仍然不能忽略。四是解答题的顺序持续变化，不再固定，相应难度也在变化，这就要求教师引导学生全面扎实复习，要求学生对知识的掌握要全面，练习要到位。五是部分主干考查内容有变，文、理科目的客观题难度梯度有变；今年文、理填空题的难度与去年相比有所下降，但选择题的难度有所上升，理科中选择题的出题方式也有所改变。

（5）文科重视基础，理科重视能力。文理科部分试题相同，如3、15、16、17、22、23题完全相同，理科4、5、10题分别是文科试题中的9、10、12题。18题考查立体几何知识，题中几何体完全一样，已知条件也一致，问题设置根据文理教学大纲的不同有差异。19题考查数列知识，文理共同点是信息量较大，数列关系复杂，文科题型常规，重视计算。理科在数列知识的考查中较往年难度有所提升，注重知识迁移能力，本题最能考察考生的考场心态及临场发挥能力。

2.彰显数学学科特色，突出数学本质

2021年高考数学全国乙卷命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观。试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀。

（2）关注社会与经济发展。题目背景与社会发展息息相关，引导学生关注我国社会经济、科技的进步发展。第6题以北京冬奥会志愿者的培训方案为背景，考查考生的逻辑推理与数学运算能力，对增强考生的民族自豪感发挥重要作用。

（3）关注优秀传统文化。第9题以我国魏晋时期数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，考生需要根据题目中给出的相关条件，计算海岛高度，需要学生具有良好的知识分析与数学建模能力。让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智，加强考生的爱国理念。

（4）“结构不良问题”适度开放。第16题并未给出几何体的完整空间图形，只给出其正视图，要求考生在所给选项中选出侧视图及俯视图，与正视图组成该几何体的三视图。本题的正确答案有两种情况，具有很强的开放性。不同结论对应不同的思考角度，考生思维的灵活性正体现于此，不仅考查考生的空间想象能力，也更好的体现数学学科高考的选拔性。

（5）理论联系实际，学以致用。2021年高考数学全国乙卷命题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，并让考生感悟到数学的应用之美。有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义。如第17题，以芯片生产中的刻蚀速率为原型，设计了概率统计的应用问题，考查对平均数、方差等知识的理解、应用和计算能力，引导考生树立正确的人生观、价值观。

3.聚焦核心素养，考察关键能力

《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。2021年高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能。

蕴含数形结合思想的试题有：第7、10、11、14、15、21、22题;蕴含转化与化归思想的试题有：第16、17、19、22题;考查直观想象素养的试题有：第3、10、20题;考查数学运算素养的试题有：第1、2、3、4、5、6、7、8、11、13、16、19题;考查逻辑推理素养的试题有：第8、9、11、22题。总之命题从知识立意到能力立意，再到学科素养立意，都是以数学知识为载体，培养学生的理性思维和数学品质，考查学生理性思维的广度和深度，体现了数学思想、通性通法的重要性。

4.朴实无华但又棉里藏针

情境公平，平静之中藏波浪，陷阱林立，简约而不简单，深刻而不深奥。试题大气、大道，题干简洁明了，解答严谨规范。试题取材源于教材、生活，考查的终极目标服务于学生未来的可持续发展，能力立意，素养导航，打造了数学高考试新形态。新高考改革未来可期！如第12题对数式，幂式大小比较，第20题的第（2）问证明不等式，第21题（2）以抛物线和圆这两种曲线为背景，考查抛物线切线和最值问题，表面上看起来是熟题，陈题，但做出来并容易，让许多考生无从入手，出现思维“卡壳”，成为名副其实的压轴题，这种多题压轴在以前的考卷中并不常见。

（二）近三年全国Ⅱ卷高考数学试题考点分布

1.近三年全国Ⅱ卷高考数学理科试题考点对比统计

2.近三年全国Ⅱ卷高考数学文科试题考点对比统计

3.近三年全国Ⅱ卷高考数学文理科试题对比分析

4.2021年全国乙卷高考数学知识点分布

（1）2021年理科数学知识点分布

（2）2021年文科数学知识点分布

二、2022届高三数学备考建议

（一）高三复习“三轮”备考安排

第一阶段（基础复习阶段）：高三暑假补课开始至寒假补课结束。主要任务是：回归课本，强化基础，突出主干，整合资料，提升素养，构建知识网络链条。利用五年真题分类汇编，熟悉重点热点及考题类型，掌握常规解法。要坚持基础性、系统性、全面性、层次性的原则，强化高考知识点的全面复习和梳理，使学生理解和掌握常见题型的常规方法，突出重点，抓住关键，突破难点，重视学法指导，重在夯实基础，真抓弱科帮扶。严密组织进行单元检测和月考。

第二阶段（专题复习阶段）：高三第二学期开学至5月上旬。主要任务是：切实增强科任老师研究高考意识，把握命题方向，展示指导实力水平，以专题复习和冲刺训练为主。一是巩固一轮复习成果、完善知识体系并强化记忆，落实知识专题化、网络化、系统化，重点反复强化，热点突出变化。二是深入研讨，精准施策，整合资源，把握高考题型特点和规律，优化专题复习，提升学生综合灵活运用知识的学科能力。三是提高学生解题速度和准确性、规范性。四是实行“周考制”，强化纠错，掌握解题方法，最大限度提高应试答题能力。

第三阶段（模拟冲刺阶段）：5月上旬至高考前。主要任务是：注重学科知识的综合和学科间的相互渗透，收集最新信息，规范解题思路，增强应考经验。实行每周两考，全真模拟，强化训练，突出实战，应试指导，心理调适，强化纠错。

（二）高考数学后期备考建议

1.利用好五年真题：一年三用

（1）“做”：一轮复习按照考点做“五年真题分类汇编”，让学生明确考什么、怎么考、考多少。二轮复习按照专题筛选部分热点、疑点真题再做，深化热点、动向。三轮复习选取近年全国卷限时模考套卷，找到高考状态。

（2）“比”：对比历年高考试题——找共性、找趋势；对比相同考点试题——找规律、找变化；对比不同考卷试题——找特点、找风格。

（3）“看”：看设问的角度，看知识的应用，看试题的背景，看考查的要求，看评分的细则。

2.优化课堂教学

聚焦课堂，敬畏课堂。落实好“教师为主导，学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的教学原则。把情境创设和问题设计放在非常重要的位置，贯穿于高考备考的全过程，不断发展学生的学科核心素养。一要更新教学理念，精心研究真题，优化教学方法，提高复习质量。二要明确考什么、考多少、怎么考，明确讲什么、讲多少、怎么讲，明确练什么、练多少、怎么练，力争做到详略得当，主次分明，夯实重点、突破难点，扎实研读5年真题分类汇编，精选典型试题，平衡讲练关系。三要打造“知识体系构建、题型分类示范、当堂达标训练、小结知识方法、精选课后作业”的课堂教学模式。四要精心备好每一节课，合理利用多媒体，制作精美课件，辅助落实教学内容。落实学生为主体、教师为主导新课改理念，落实学生课堂动脑、动手、动口，不断提升思维能力。

3.实化作业质量

一要教师跳进题海，精心研究，整合资源，精选习题，保障学生在一节自习时间内完成，以五年真题为主。二要想方设法，杜绝应付，提高作业实效。三要及时督查批阅作业，做到有布置、有检查、有评价、有记载。四要强化纠错，分析原因，分类整理，反复训练，连根铲除。

4.提升考试质量

一是精心组织每次模拟考试，精选试题、严肃考纪、成绩统计、试卷讲评、强化纠错等各环节工作。试卷讲评反对就题讲题、详略不分、简单对答案。二是要求学生明确考试目的，认真对待，全神投入，不缺席、不讨论、不查资料、不提前交卷，依据科目特点建立错题本，分类整理错题。 三是对于选择题、填空题要进行限时训练,渗透答题技巧,特别是对部分选择、填空题,应学会用特殊化策略、数形结合、极端原理、逆推验证等方法解决问题,提高答题速度和准确率。四是解答题的前三题要加强模型识别、掌握常规解法、规范解题步骤,做到书写严谨,避免过程失分;解答题的压轴题力争第一步不丢分 ,第二步至少要得到基本的步骤分。

5.遵循教育规律

按教育规律办事，分数就在里面。一要率先垂范，振作精神，充分调动学生激情。二要杜绝只讲不练、一讲到底、以讲代练、以考代练等低效行为。三要学生能自己解决的事，教师决不要去包办代替。书要学生去念，题要学生去做，考试要学生去考，谁也无法代替。思维能力的培养，不是仅靠教师讲出来的，要让学生自己去实践，要让学生通过自己的课堂互动学习活动去体会、去总结。四是“严”字开头，“勤”字开路，思想引领，温情陪伴，制度约束，大胆管理，强化监督、约束、惩戒力度，恩威并举，创设良好备考氛围。

6.充分调动学生

（1）制定目标，挖掘潜能，坚定意志，端正态度，战胜自我，切忌浮躁。希望总是留给有准备的人，切合自身实际情况，确定合理目标至关重要，有目标、有方向、有动力。全力以赴，坚定意志，知难而进，战胜惰性。高考不仅仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。心态决定着成败，用积极的心态促使复习效率提升。面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能“天宽地阔”。

（2）注重教材，强化基础，重点知识，落实到位，忌盲目做题。一要深刻理解并准确记忆基本概念、定义、公式、性质等；二要强化基本计算的训练和常规方法积累，确保选择题1—8，填空题13—14，快速解答，万无一失，这是备考复习的重中之重，是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。三要围绕重点内容作重点复习，保证时间、狠下功夫、练习到位、反思到位、效果到位。将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。四要建立“三角自信”、“数列自信”、“统计自信”“立几自信”，近年高考17、18、19题重点考查三角函数、解三角形、数列，并且作为第一道解答题，日常训练不到位，一旦卡壳，失分严重，心理失衡，会给后面的解答题带来很大的影响，而且作为主干，客观题中也涉及较多。因此在备考复习中务必重点突出，强化训练，成为学生的拿手好戏。 　　

（3）思想方法，重在体验，综合能力，强化训练，学会总结。数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”。一是我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的。二是要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次。三是在加强基础知识理解的同时，突出能力训练。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，打破数学内部学科界限，注重培养收集处理信息的能力、语言文字的表达能力及建模能力。四是应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。

（4）规范解答，正本清源，真题法宝，限时训练。高三数学的复习效果，最终显化的是一种解题的能力，解题能力的高低，直接决定了复习的成败，如何提高解题能力？建议从下面几方面入手：一是认真审题，通过反复读题，对所求问题等价转化，寻找解题突破口; 二是重视解题方法多样化、格式书写规范化、重要结论工具化训练。要会用专业术语回答问题，回答问题要言简意赅准确无误。对照历年高考试题评分标准，看看是否答题严密、规范、恰到好处。进一步明确书写格式、作图要求，解题过程哪些该写，哪些不该写，写到什么位置，确保在对应的答题框内完整准确清晰的表达解析过程，做到“会而对、对而全、全而精”。三是限时训练，每次考试创设一种正式的考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。把每一次考试当成巩固知识，训练技能的一次好机会，讲究时效性，按规定时间完成，在做题上学会取舍，同时在考试的过程中以积极和平稳的心态面对考试，积极备考。四是强化运算，日常作业、考试一定要自己动手操作，不断总结运算方法、规律，寻求合理运算思路，深刻思考运算中的逻辑推理。明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果。在解题的关键环节养成二次计算的良好习惯，避免核心关键环节出错。合理规范使用练习本、演草纸，不断提升运算速度和准确性。

总之，2021年高考数学全国乙卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能。综览整套试卷，聚焦核心素养，突出数学本质，考查关键能力成为主旋律，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。

高考备考是一项复杂的系统过程，需要我们在备考中振奋精神，齐心协力，真抓实干，精心研究，明确方向，科学指导，全面系统，强化基础，突出主干，强化落实，提升素养，同时强化数学学科特色与情景意识，注意数学思想方法的训练，持之以恒提升备考质量。

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