解密蒙台梭利数学（多图收藏版）

今天要分享的内容有点长，全文8765字，阅读需要10分钟。

大女儿今年8岁，上小学2年级，没有在蒙台梭利儿童之家学习过。她就是那种能够将100-30算成130的孩子。任何一道简单的四则运算，都需要花很长时间思考，然后才能动笔运算。别人家孩子1小时做完的作业，她需要5个小时才能完成。这个问题，老师和家长都束手无策，你说她不会吧，她花点时间也能算对。你说她会吧，张口就来的答案她非要想很久才能答出来。这个问题导致的结果，不仅仅是写作业慢，更严重的是在学校老师讲的新知识点，都是跟原来的知识点相关的，因为反应慢，就出现了上课经常听不懂，精神云游的状况。

作为父母是看在眼里，疼在心里，看到她一天天不快乐，我们也很难过。问题总要解决，但是需要找到根源。直到有一天晚饭，二女儿跟我们分享白天在蒙台梭利儿童之家练习的除法板工作。

二女儿说，除法就是把一个很大的量分给很多人，每个人得到一样多，分不完的就是余数。说者无心，听者有意。我转头就问大女儿，是否知道除法是什么意思？大女儿回答不知道。我又问她们加法的概念。大女儿的回答是：加法就是一个数加一个数。而二女儿的回答是：加法就是每个人拿了一些量，放到了一起，得到了一个很大的量。

用同样的方式我询问了他们两个关于加减乘除的概念。二女儿的回复是：

减法是把很大的量分给一些人。

乘法是把很多相同的量放在一起得到更大的量。

二女儿的回答，清晰明了。而大女儿虽然已经上了2年级，但是对于这些概念，却无法说出来。甚至她自己自言自语道：我会算，但是我不知道加减乘除是什么意思。

这一刻我才明白，大女儿在数学学习上面临的问题是什么了——不理解概念。

当孩子不理解一个事情的原理是什么，就通过大量的抽象运算的作业来强化记忆。老师和家长面对这样强化记忆的方法，往往的评价是“熟能生巧”。但对孩子来说，结果就是每次计算的时候，都要回忆这段痛苦的强化记忆，既浪费时间，又使得孩子每计算一次，就增加一次对数学的恐惧和厌恶。

我们大部分成人，这一生最可悲的事情就是读了一个不喜欢的专业，干了一份不喜欢的工作。面对我们自己的人生，我们常怀抱怨，憧憬着自己能够有朝一日中个大奖，然后干些自己喜欢的事情。但是我们对孩子却总是执行着双重标准。如果我们期望孩子将来能够热爱数学，为什么现在却让孩子做对数学心生厌恶的事情呢？大女儿在她一年级的日记中曾经写道：我爱老师、同学，但是如果可以不写作业就好了。

知道问题的根源就好办了，大女儿正是缺少对数学的感官印象，因此才无法理解四则运算的概念。为了让她能够有感官体验，就需要把“数量”带给她。数量和数字并不是一个概念，数量是实际的物体，而数字只是抽象的符号，孩子在传统小学学习数学，往往是直接学习抽象的数字，无法感官体验数量，这也是为什么她无法理解概念的原因。

在《银河补习班》中，马浩文带马飞躺在草坪上，让他亲自感受“草色遥看近却无。”的真实场景，将真实体验带给孩子，帮助孩子理解抽象的古诗。这样才是帮助孩子理解抽象概念最好的方法。

 让大女儿用她的感官来体验数量、数字、数量和数字结合、十进制以及四则运算的概念，因为只有让她亲身感受，才能够理解。而事实证明，当她理解了全部的概念以后，除了运算速度变得更快了以外，也更热爱学习数学了。

至此，我的女儿面临的问题算是解决了，但很多家长们会奇怪，为什么小学2年级都解决不了的问题，在3-6岁的蒙台梭利儿童之家可以解决？

这就需要让我们能够从整体上来理解到底什么是蒙台梭利数学。

在蒙台梭利儿童之家中，我们并不是一开始就给孩子介绍数学工作的。为了让孩子能够顺利的进入数学领域，我们要帮助孩子做好各项预备。

心智的预备

数学，需要孩子具备一定基础的计算能力、以及内在的秩序感。同时还需要专注、独立，以及拥有协调的动作。如果孩子在心智上没有准备好进入到数学领域，那么越早让她接触数学，就越容易让孩子厌恶数学。

可喜的是，孩子从出生开始，就在运用数学：转动头部到一个特定的角度，就可以获得食物。长大一些后，移动一定距离就可以拿到他要的物品。说话的时候，如何用正确的顺序和停顿将一句话表达出来。将牛奶倒入杯子里，倒的角度、速度、何时停下，孩子都在大脑中进行着计算。这是因为孩子拥有计算和完美的人类倾向（不了解人类倾向的，请点这里回顾）。因此，人类的心智本身就是数学性的心智，无时无刻都在进行着计算，而我们却丝毫没有察觉。

当孩子3岁进入蒙台梭利儿童之家的时候，我们便通过设置教室中的环境，来辅助孩子这方面心智的发展。日常生活的工作帮助孩子发展了动作协调、专注力和独立性。感官工作，帮助孩子发展更有秩序的大脑，孩子可以更好的对世界信息进行分类，通过排序建立精准计算的印象，创造大脑中内在的秩序感。因此当孩子4岁的时候，他已经做好了进入数学区域工作的准备。这也是为什么在任何一个蒙台梭利儿童之家，老师都非常重视日常生活和感官的教育的原因。因为只有通过日常生活和感官帮助孩子做好心智的预备，孩子才能够顺利的开启数学的大门，并沉浸其中。

模式的预备

蒙台梭利教育遵循孩子的自然学习法则和模式。这个模式便是从已知到未知、从简单到复杂、从整体到局部、每次独立出一个难点、提供适当的挑战。孩子在正式进入数学区域之前，他已经在日常生活区域和感官区域获得了这样的学习模式。因此当他进入到数学领域后，他就会应用这样的模式来学习。从对最基础的1-10的具体数量认知开始，到他6岁的时候，便可以进行百万级的抽象运算。

同时，当孩子4岁的时候，已经做好的相关预备以后，他就能够专注的长时间工作，独立解决问题，动作足够协调，在心智上也已经做好了进入数学区域学习的准备。之后他就可以开始正式的进入数学区域工作。

在蒙台梭利的数学区域中，将数学分成了6个群组，分别是群组1：数字1-10、群组2：十进制系统、群组3：连续数数、群组4:记忆、群组5：通往抽象的道路、群组6：分数。这六个群组中，群组1是数学的基础，群组2、3、6是对数学的进阶发展，群组4是帮助孩子更快速的进行计算，群组5是让孩子具备抽象运算的能力。

数学区域的示范进程中，蒙台梭利也一直遵循着三段式教学法：命名（给出概念）——练习（孩子通过不同的工作和游戏进行运算训练）——确认（最终达到抽象运算的能力）。

在了解了模式以后，我们来看看，蒙台梭利数学是如何通过各个工作，运用这样的模式将不同困难程度的工作，逐步带给孩子的。

数学的基础（群组1：数字1-10）

谈到数学，就离不开数学的基础组成部分：数量和数字。数量是由实际物体组成，数字是由抽象的符号构成。数量孩子可以通过触摸、看等感官方式来体验，而数字，孩子只能通过他的大脑进行抽象的记忆。这也是为什么孩子进行数数或者运算的时候，经常掰手指头数的原因。

0-6岁的孩子是感官学习者，需要通过他们的感觉器官来获取世界上的信息。因此他们必须先了解什么是数量，之后才可以接触什么是数字，再之后进行数量和数字的结合。在整个数学工作中都需要遵循这样的模式。

蒙台梭利数学的第一群组是之后各个群组的基础，其他群组的工作设计不同领域和目的，但都相辅相成，很多都是可以平行开展的。为了便于理解，我们将工作进行了排序。

我们按照下面的顺序来给孩子介绍数量和数字：

1、数棒

孩子通过感官来体验数量以及对应的名称。每个数量都是用一个独立的物体来表示，比如数量3是一根红蓝红相间颜色的数棒构成的，这个数棒是一个整体，不能被分开。孩子在数棒中也通过长短排序，了解和记忆了1-10的顺序。

2、砂纸数字

1-10的砂纸数字，孩子已经知道1-10的数量名称了，通过触摸抽象的砂纸数字，结合三段式教学法，孩子就可以将抽象的数量符号与数量的名称对应起来。

3、数棒与数卡

将孩子已经学习过的数棒代表的数量、数卡代表的数字符号进行融合操作，将实体的数量与抽象的数字符号进行了结合。孩子理解了每一个数量的对应符号是什么，也了解到数字的抽象符号也是有顺序的。这个工作非常重要，因为这是之后所有数学学习模式的基础，在介绍概念的时候，都是先数量后数字，然后是数量与数字的结合。

4、纺锤棒箱

如果说，数棒的每个棒代表一个数量，每个数量都是一个整体的话，那么纺锤棒箱就告诉孩子们，原来数量也是由一个一个的个体组成的。比如9可以是由9个纺锤棒放在一起构成。同时孩子也了解到了0虽然什么都没有，但是也要占用一个位置，这对于日后孩子学习更大的数字有非常重要的意义。因为如果没有0来占位，那么2046就变成了246。同时纺锤棒箱印上去的数字，也再一次加强了数字顺序的印象。

5、0的游戏

0这个数字对于孩子来讲是非常抽象的，因为孩子没有办法通过感官来体验具体的数量，所以我们需要跟孩子做一些游戏，加强孩子对数字符号和数量对应关系的记忆。比如，我们可以让一个孩子拿来5个球，让另一个孩子跳0次。

6、数卡与筹码

数棒有长短的顺序，纺锤棒箱的数字印在了盒子上。到了数卡与筹码的时候，我们给孩子增加了一个难度，就是将所有的数字和筹码都是无序的放在一起，然后让孩子进行排序，这个工作是我们对孩子前面学习知识的一个检验和确认。看孩子是否已经真正的掌握了数量、数字、数量和数字的对应关系和顺序。并且在这里，我们给出了孩子奇数和偶数的概念，因为孩子很容易通过视觉就能发现，偶数是可以平分对称结构，而奇数是不能被平分的。

7、数字记忆游戏

数学并不是一个自然学科，他是人们用来解决日常生活问题中不断发展得来的。因此当孩子掌握了一些数学的基础能力以后，我们需要让孩子更好的在生活中运用这些能力，所以我们带给孩子数字记忆游戏。我们准备了0-10的小纸条，孩子可以拿一个纸条，并在教室中拿取对应数量的物品。通过这样的方式，加强孩子对数字的认知和记忆。

十进制系统（群组2）、连续数数（群组3）与分数（群组6）

当孩子在第一群组中掌握了数字1～10（包含0）以后，如果我们希望孩子能够进一步学习更大的数字，那么他就必须要掌握十进制系统。因为所有数字都是由不同数位构成的，而高数位与低数位之间的关系便是十进制。同时孩子也需要了解到构成10和分解10可以有很多种组合方式，因此我们需要给孩子加、减、乘、除四则运算的概念。当孩子知道了数字不仅仅局限在10，而是可以很大的时候，我们就需要让孩子了解这样一个大的数字，是如何从1开始连续增加得到的，因此我们也要同时给孩子连续数数的相关工作。所以，在蒙台梭利环境中，第二群组和第三群组的工作是同时开展、相辅相成的。在这里，我们并不要求孩子能够运算的多快以及是否运算的正确，而是希望让孩子能够真正理解数学运算的概念，这对他今后的学习非常重要。群组2、3、6，在孩子了解了十进制规则以后，往往是根据孩子的能力和兴趣，交叉介绍给孩子的。

8、量的介绍：珠子（群组2）

蒙台梭利的伟大之处在于她不仅仅知道0-6岁的孩子是感官学习者，还研究除了一系列的工作，能够将复杂的概念从孩子能够体验的感官的方式介绍给孩子。量的介绍就是这样。当孩子掌握了10以内的数量和数字以后，蒙台梭利老师就会将1、10、100、1000同时介绍给孩子。因为这组数字被蒙台梭利从感官上设计成为点、线、面、立方体的形式，而之后再大的数字，也依旧可以呈现这样的点、线、面、立方体（也可以看作是一个点）的形式，这样的点、线、面的形态就被称为一个数字家族，这也是为什么我们在进行科学计数的时候，一千被写做1,000，而一百万被写做1,000,000的原因，我们用“,”来区分不同的家族。所以当我们开始给孩子介绍更大的数量的时候，我们首先便拿出第一个数字家族介绍给孩子，让孩子对量的大小有整体的概念印象。这样的感官印象，在孩子6岁接触百万箱的时候，还会再次体验。

9、符号的介绍：卡片（群组2）

我们依旧遵循先介绍数量再介绍数字的模式。当孩子已经认识了个、十、百、千的数量以及数量对应的名称之后，我们就要给孩子介绍数量对应的数字符号了。

10、数字的组合（群组2）

帮助孩子将1000以内的数量与数字符号对应。了解1000以内的数，并且可以通过组合，来得到对应的数量和数字。孩子在数字的组合中也可以意识到，所有数位上的数字最多只到9。

11、使用珠子进行十进制运算（群组2）

当孩子已经能够用拿取对应的任何数量和数字，了解了数位的规则以后，就可以开始使用珠子进行十进制运算了。在十进制运算中，我们第一次给予孩子加法、减法、乘法和除法的概念，这里就是一开始提到的我家大女儿对概念不清晰的地方。我们通过给孩子感官印象，让孩子理解什么是加减乘除，也通过换每凑够10个一，或者10个十或者10个百就换一个高数位的珠子的方式，让孩子对十进制换位有更直接的感官体验。

加法：

减法：

乘法：

除法：

12、邮票游戏（群组2）

邮票游戏在上一个工作基础上，数量不再是一个个具体的珠子，而是印有数字的木质小卡片。同时邮票游戏是个人的工作，不需要几个孩子凑在一起才可以进行四则运算的练习，这让孩子有更多的选择。邮票游戏帮助孩子理解换位，我们同样不对孩子是否能够准确运算有期待，因为在这里，理解换位更加重要。

13、十几的介绍：珠子

当孩子在第一群组掌握了1-10，并且知道了十进制以后，就可以开始给孩子介绍超过10的数量和数字了。之所以把十几的数量和数字独立介绍给孩子，是因为之后更大的数量和数字，都遵循了相同的原则，即十几是由一个代表10的金色珠子和彩色珠子构成的。同时孩子在这里第一次接触了彩色珠子，这为之后的直线数数、跳数、加法蛇、减法蛇、乘法串珠等进行预备。

14、十几板（塞根板I）

孩子了解了十几的数量和名称之后，我们就要给孩子抽象的数字符号了，十几板就是这个目的。十几板又称塞根板I，是由法国著名心理学家塞根创造的，蒙台梭利学科深受塞根影响，在蒙台梭利教室中，这也是为数不多的非蒙台梭利发明的教具之一。

15、十几板（塞根板I）以及珠子

按照同样的教学模式，孩子需要数和量的结合。

16、几十板（塞根板II）以及珠子

在十几板的基础上，孩子将数量11-99与数字11-99结合，这帮助孩子做好了能够数到1000的预备。孩子也意识到数字的增长过程是如何从一个10慢慢增加到更多的99的。

17、连续数数：百串珠链和千串珠链

孩子具备了1-99的连续数数能力以后，孩子就已经了解数字可以继续扩大，他们就很有意愿的去检验自己的判断是否正确，通过练习来巩固数数的能力。并且在数的过程中，孩子可以通过感官体验发现10² 与10³  之间的差别。

18、跳数

孩子具备连续数数的能力之后，我们就可以给孩子示范如何只读串珠棒后面的那个标签，这就是跳数。这是另外一种数数的方式，增加了数数的效率。同时也为孩子提供了乘法、开方的感官体验和预备。当孩子将所有的彩色珠链放在一起进行探索的时候，他就可以通过感官体验，更好的了解不同数字之间的关系。

分数（群组6）

当孩子了解1-10数字之后，孩子就可以接触分数了。但分数的四则运算需要在孩子已经掌握了珠子的四则运算后，才能开始。因为我们永远遵循从简单到复杂，从具体到抽象的原则。为了让孩子更好的了解十进制，分数的介绍也只介绍到1/10。

19、分数

在分数中，我们给孩子感官的等值体验，感官的四则运算，以及抽象的数字符号书写方法，并最后将二者结合。

20、点的游戏

点的游戏目的并不是训练加法，而是帮助孩子进一步加强进位的理解，加强数位与数位之间的关系。每个数位数到10的时候，都需要向上进一位。同时孩子也将数字的能力扩展到了10000，开启了下一个数字家族。

在传统小学的学习中，我们做加法运算的时候，如果一个数位的得数超过10，我们往往会在上一个数位记一个符号。点的游戏，就与此类似。

21、应用题

数学是为生活服务的，因此当孩子具备了四则运算的能力以后，我们就要帮助他们将这种能力与生活相结合，来解决他们实际生活中遇到的问题。

记忆（群组4）

记忆是帮助孩子更好的运用数学能力，通过记住一些关键组合，可以帮助孩子的运算变得更加迅速。这个群组的工作也是与群组2、3、6平行开展的，当孩子了解了十进制，以及见过彩色串珠后，就可以开始这个群组的工作了。所谓的运算的关键组合，就是所有的四则运算，都是有关1-9的运算。比如加法的关键组合最小是1+1，最大是9+9，任何数位的加法都是由这些关键组合构成的。一旦我们给孩子介绍了记忆里面的第一个工作加法蛇之后，减法、乘法、除法就可以同步开始介绍了。

如果按照传统的教育方式，一定是按照加——减——乘——除这样的顺序教授给孩子的，但是减是加的逆运算，乘是一种特殊的加法，除是乘的逆运算。当孩子们在珠子的四则运算中知道了加减乘除的概念之后，乘除运算对孩子来说就并没有什么难易的区别了。

22、加法蛇

加法蛇是通过具体的数量来帮助孩子熟悉可能组成10的各种数字组合，并且帮助孩子发现如果两个数字相加超过10，除了10以外，还剩下多少。通过这样的方式，帮助孩子记忆基本的加法组合。

23、加法长条板

让孩子运用数字符号来练习加法的关键组合，并且通过不同的组合，发现加法交换律。孩子可以通过视觉，很容易的发现2+8和8+2是相同的结果。

24、加法练习表1、2、3和空白表

加法练习表让孩子直接使用抽象的数字符号来进行加法关键组合的运算。并且按照“全部答案——去掉交换律的答案——去掉重复答案——去掉全部答案”这样的方式来逐渐增加难度，帮助孩子练习记忆。

25、减法蛇、减法长条板、减法练习表1及空白表

关于减法的关键记忆组合的工作设置与加法类似。看看这些工作长什么样。

26、乘法串珠

孩子在此时已经知道了乘法的概念，我们需要不断的帮助孩子巩固对于乘法概念的印象。在帮助孩子记忆乘法关键组合的同时，孩子可以通过串珠的摆放理解乘法交换律，通过串珠几何线条的分离，帮助孩子预备除法。

27、乘法板

乘法板就是通过具体的数量，来帮助孩子记忆乘法关键组合的。虽然孩子在乘法串珠的时候已经练习了乘法的概念和关键组合，但这时的乘法板上面所有的珠子都是红色，相比不同颜色的彩色串珠，增加了一些难度，这帮助孩子更进一步的向抽象发展。

28、乘法练习表1、2和空白表

乘法练习表的目的就是帮助孩子运用抽象符号来记忆乘法关键组合。

29、个位除法板、除法表和空白表

除法是乘法的逆运算，因此除法的这些工作，除了帮助孩子记忆除法关键组合以外，还帮助孩子看见乘法和除法之间的关系。

通往抽象的道路

30、算珠小立架

我们期望孩子有一天能够开始脱离数量而只用抽象的数字来进行运算，因为我们无法在任何时候都把代表数量的物体带在身边。所以当孩子已经了解了数位、四则运算的概念，并且练习了很多的关键组合后，当孩子拨弄算珠小数架来进行运算的时候，我们会看到孩子也许并不需要去拨动数字，就可以直接在纸上将答案写下来，这就是孩子通过实物的数量运算向数字的抽象运算进行发展。

31、百万箱及符号

数字是可以无限大的，在介绍金色珠子的时候，我们已经把数字的简单家族介绍给了孩子，但是我们并没有介绍数字家族的概念，因为那个时候，孩子还无法更好的理解和掌握这样的知识。因此当孩子已经具备抽象运算能力的时候，我们会给孩子介绍百万箱，这涵盖了千家族和百万家族。

然而我们无法将所有代表数字的数量都放到教室里面让孩子进行感官体验，但是孩子此时已经能够明白，数字可以无限的放大，并且都会遵循数字家族这样的模式。而数字家族的感官形态，就是点、线、面、立体这样的无限循环。我们同样也会遵循量、符号、量和符号结合这样的模式，来将新的知识带给孩子。

32、算珠大立架

当孩子已经掌握的百万概念后，我们就需要给孩子提供百万级别的四则运算的相关工作，这样孩子就可以更好的理解这些数字和数量。算珠大立架与算珠小立架相似。找张实物照片放一下。

33、试管除法

试管除法，是因为所有的珠子都放在试管里面而得名。试管除法的被除数是百万级的数字，除数是个位数。因为在算珠小立架和算珠大立架这两个工作中，只能进行加减乘的练习，无法进行除法的抽象练习。所以试管除法的主要目的就是帮助孩子用抽象的方式来运算除法。

到这里，如果你读完了这篇文章，那你就不仅是蒙台梭利的真爱粉了，你一定是一位渴望了解孩子如何学习数学的那位老师或者家长。

0-6岁的孩子是感官学习者，蒙台梭利站在众多教育学家和心理学家的理论基础上，通过让孩子对数量进行感官体验，给予名称，之后介绍数字，再将数量和数字进行结合，并且运用三段式教学法，让孩子能够轻松的理解数学。

很多家长问我，别人家3岁的孩子就已经在上学而思的数学班了，我到底该怎么办？让孩子在数学领域输在起跑线上么？每当遇到类似这样的问题，我都会借用AMI培训师的一段话来做告诉她：

“数学的种子应该被非常小心的播下，我们不能指望在枯树上长出好的枝条，许多人认为数学就是死记硬背，如果我们让孩子去记忆3+3=6或者2×4=8，事实上我们就是人为的去造了一棵树，把一个个小的枯枝钉在一块更大的枯枝上。虽然这棵树看似枝干连结，但这只是我们创造出的一个假象。这不是树，只是一个十字架，它不会结出果实，不能带给你生活或者快乐，只有痛苦。相反的，如果我们仔细的播种，可以看到小树苗长出坚固的根茎，发出嫩芽，并且在喜悦中茁壮成长。”

文章转载自微信公众号：蒙奶奶